1. Яхта на реке
Может ли парусная яхта пройти на другой берег реки, не применяя весла, двигатель и в отсутствии ветра? Вода имеет скорость течения - Vтеч. Современные парусные яхты могут иметь скорость движения относительно воды равной скорости ветра при курсах яхты к истинному ветру от 30о до 150о.
РЕШЕНИЕ:
Яхту потоком воды сносит по течению со скоростью Vтеч - это переносная скорость. Возникает «вымпельный» ветер и паруса «заполоскали». Устанавливая парус под оптимальным углом атаки к «вымпельному» ветру, яхта приобретает относительную скорость по отношению к воде - Vотн. Величина этой скорости, по условию задачи, равна скорости течения, направление задаёт рулевой яхты. Движущей силой яхты является подъёмная сила паруса, наполненного ветром.
Применяя преобразование Галилея: Vабс = Vотн + Vтеч и правило сложения векторов, представим решение графически.
Из рисунка видно, что меняя в определённых пределах направление относительной скорости, можно изменять абсолютную скорость. И что яхта имеет максимальную скорость пересечения реки при движении относительно ветра (течения) перпендикулярно к ветру (курс галфвинд). При анализе решения нужно помнить об условиях задачи: яхта должна идти курсом от полного бейдевинда до острого бакштага и способна на этих курсах развивать относительную скорость равную Vтеч. «Эта задача была предложена на семинаре по физике в МГУ 55 лет назад и решения применены в 1966г. на первенстве Мира, первое место в последней гонке».
ПОДЪЁМНАЯ СИЛА
«Подъёмная сила – сила перпендикулярная вектору скорости движения центра тяжести тела, возникающая вследствие не симметрии обтекания тела потоком газа (жидкости)» (см. «ФИЗИЧЕСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ» том 3, стр. 670, МОСКВА.1992 г.)
Возникновение подъёмной силы можно объяснить с помощью Закона Бернулли:
«При стационарном течении жидкости (газа) давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и наоборот, меньше в тех местах, где скорость течения больше».
На острых курсах к ветру, парус обтекается воздухом так же, как и крыло самолёта. На рисунке показаны траектории движения потоков воздуха. Над верхней поверхностью крыла (или паруса) путь потока больше и соответственно скорость их больше, поэтому давление на верхней поверхности меньше по сравнению с давлением на нижней поверхности. Возникает подъёмная сила, направленная перпендикулярно потоку воздуха. Важно отметить, что угол атаки должен быть небольшим. При превышении оптимального значения угла атаки разрушается стационарное течение, и Закон Бернулли не применим, так как возникают вихри и срывы потока над крылом (парусом). Величина подъёмной силы и оптимальный угол атаки зависят от скорости потока и профиля крыла (паруса).
2. ПОЛЯРНАЯ ДИАГРАММА СКОРОСТИ ЯХТЫ
В первой части «Яхта на реке» условно было принято, что скорость яхты равна скорости течения по абсолютному значению. В действительности можно построить полярную диаграмму скорости яхты и по ней определить точное значение скорости яхты для выбранного курса относительно ветра и величины скорости ветра.
Полярная система координат является криволинейной системой координат.
Она состоит из концентрических окружностей с центром в точке 0 и лучей с началом в точке 0. Один из лучей принят за полярную ось, и от него ведётся отсчет полярного угла. Положение точки в этой системе определяется длиной вектора и полярным углом.
Полярную диаграмму скорости яхты можно представить следующим рисунком:
Полярная ось совпадает с направлением истинного ветра (действующего ветра). Правая и левая половины диаграммы симметричны относительно полярной оси. В правой половине яхты идут левым галсом, а в левой половине - правым галсом.
Кривые линии зависимости скорости яхты от силы ветра и курса яхты относительно ветра находятся экспериментально с использованием современных средств навигации, в частности системы GPS (ссылка на сайт, где профессианально занимаются построением ПДСЯ (на английском) www.oppedijk.com/zeilen/create-polar-diagram).
Ясно, что эти кривые сильно изменяются от класса к классу яхт. На данном рисунке эти кривые нарисованы произвольно, но отмечены характерные моменты. Размерности скорости яхты, скорости ветра и скорости набора высоты должны быть одинаковы.
По диаграмме можно определить оптимальный курс при лавировке и полных курсах, они соответствуют значению max и min функций (кривых) (максимальным проекциям кривых на полярную ось).
Очевидно, что при равенстве скоростей истинного ветра и скорости яхты угол вымпельного ветра равен половине угла курса яхты относительно истинного ветра.
3. ТРЕУГОЛЬНИК ЛАВИРОВКИ
В больших городах миллионы людей пользуются метро. Эскалаторы перемещают пассажиров вверх и вниз, движущиеся ступени лестницы позволяют спокойно стоять и рассматривать рекламы. Дети, впервые ступающие на ступени, испытывают страх и неуверенность, но со временем становятся, как и взрослые, смелыми и уверенными.
На этом видео видно, как не привыкшие к эскалатору люди начинают падать, так как ещё не выработаны рефлексы (автоматизмы) учёта движения полотна эскалатора.
Так же, при неожиданной остановке движение эскалатора (изменении скорости движения), появляется ускорение и следовательно силы инерции, которая может вызвать падение пассажиров, если не держаться за поручни. Более того, пассажиры входящие или сходящие с остановленного эскалатора, испытывают неприятное ощущение, неуверенность, хорошо известное всем пассажирам. Чему научились в детстве, тому надо противостоять. Мы пользуемся эскалатором для изменения высоты в гравитационном поле Земли. Пассажир, если спешит, может ускорить движение, переступая по ступеням. Парусные яхты используют ветер и, как в гравитационном поле, изменяют высоту в векторном поле скорости ветра. Принято считать, что яхта набирает высоту в случае лавировки и спускается вниз по высоте на полных курсах. Течение воды – это аналог движения эскалатора. Удивительно, что неосознанные явления, связанные с использованием эскалатора, проявляются и на парусной яхте при появлении течения.
Парусные яхты не могут идти точно против ветра. Курс яхты относительно ветра при лавироке равен 45о. Быстроходные спортивные яхты способны идти под углом к ветру до 30о. Для достижения намеченной цели на берегу или знака на воде, расположенного точно против ветра, яхте необходимо идти разными галсами. Их путь изображается зигзагами. В парусных гонках принято стартовать против ветра, и после старта яхты, стартующие разными галсами, расходятся влево и вправо по акватории дистанции. Насколько далеко друг от друга яхты могут расходиться в противоположных направлениях, может показать «треугольник лавировки» (рис. 1).
Рис. 1
Треугольник лавировки представляет собой равнобедренный треугольник, сторонами которого являются фэтчлайн (лэйлайн). Основание треугольника – это изолиния высоты (наветренности). Вершина треугольника расположена в районе верхнего знака дистанции или в точке расположения намеченной цели. Ось симметрии треугольника совпадает с направлением ветра. При заходе ветра на угол α треугольник поворачивается относительно своей вершины на тот же угол. Изолинии высоты это аналог ступенек эскалатора, который не движется, ступеньки надо преодолевать, применяя мастерство парусного спорта.
Если стартовую линию расположить точно против ветра (параллельно изолинии высоты), то все пути яхты к вершине треугольника равны и не зависят от места старта на стартовой линии. Также можно переставлять стартовую линию вдоль изолинии высоты в пределах площади треугольника лавировки, при этом также сохраняется длина пути. Если один из знаков стоит выше по отношению ко второму стартовому знаку, то длина пути к первому знаку дистанции будет зависеть от места на старте. К такому же результату приводит заход ветра, так как изолинии высоты поворачиваются на угол захода ветра. Рисунки 2–4 наглядно показывают, в каком месте надо стартовать и как меняется позиция яхты при заходах ветра. Один вывод очевиден: если вам неизвестно точно направление и время захода ветра, нужно лавироваться внутри треугольника лавировки. Пересечение фетчлайн (выход из треугольника) приводит к ненужному увеличению пути.
Рис. 2 - Рис. 3 - Рис. 4
Анимированное изображение
4. ТЕЧЕНИЕ И ВЕТЕР
Название четвёртой части статьи (работы) отличается от заглавия всей работы перестановкой слов, так как в принципе на движение парусной яхты ветер и течение действуют одинаково. Это справедливо на тех курсах относительно ветра, когда движущей силой паруса является подъёмная сила паруса. Для быстроходных спортивных яхт и катамаранов это диапазон курсов от бейдевинда до бакштага.
Направление и величина (скорость) течения и ветра задаётся векторами в абсолютной системе отсчёта (АСО). В зависимости от поставленной задачи можно взять за АСО спутниковую глобальную систему отсчёта, используя приёмники GPS, или выбрать начало координат произвольно на берегу или дне моря (водохранилища).
Парусная яхта движется по границе, разделяющей воздух и воду, и достаточно присутствие ветра или течения для перемещения яхты в АСО. Появление (образование) подъёмной силы паруса и подъёмной силы киля (шверта) физически отличаются в основном лишь тем, что плотность воды в тысячу раз больше плотности воздуха. Величина подъёмной силы пропорциональна кинетической энергии среды (воздуха, воды) на единицу объёма
| ∼ | ρV2 |
| 2 |
(где ρ – плотность среды, V – скорость движения среды относительно крыла паруса, киля) и площади крыла, и при равенстве подъёмных сил паруса и киля становится понятным, почему площадь киля и шверта много меньше площади парусов и почему скорость ветровых течений меньше скорости ветра.
Принимая систему отсчёта, мы предполагаем, что она является инерциальной системой отсчёта (ИСО), то есть, что в этой системе тело покоится или движется равномерно, если на него не действует сила.
Системы отсчёта, движущиеся друг относительно друга равномерно, физически равноправны, и преобразование координат и скоростей выполняется по формуле Галилея (см. часть 1).
Представим себе, что яхта (экипаж) находится вдали от берегов и навигационных знаков, и в этом месте имеется течение, о котором яхта не знает. Эта задача является развитием первой части статьи «Яхта на реке». Экипаж управляет яхтой в соответствии с действующим ветром, который является суммой истинного ветра (экипаж не знает о его присутствии) и ветра, вызванного течением. Для яхты бескрайние просторы воды являются подвижной системой отсчёта. Экипаж может бросить за борт плавающий предмет и ориентироваться относительно него и действующего ветра, приближаясь или удаляясь от плавающего предмета, который дрейфует вместе с яхтой по течению.
Для яхты в подвижной системе отсчёта, имеющей переносную скорость, равную скорости течения, всё представляется привычным, как и в отсутствие течения. Вектор действующего ветра легко вычислить с помощью полярной диаграммы сложения векторов, если знать прогнозы на течение и ветер в месте расположения яхты или предполагаемом месте проведения предстоящей регаты.
Рис. Определение действующего ветра
Интересно, что видит наблюдатель, расположенный в неподвижной системе отсчета (АСО)? Судьи на катерах, стоящих на якоре, наблюдают и замеряют скорость и направление ветра, истинного ветра. Они могут замерить течение. Скорости и траектории яхт сильно изменяются, опытные наблюдатели заметят несоответствие направлений истинного ветра и направления полощущих парусов, т.к. это направление совпадает с направлением действующего ветра.
С помощью полярной диаграммы сложения векторов (ПДСВ) можно в большом диапазоне скоростей и направлений нарисовать курсы и скорости яхт в подвижной и неподвижной системе отсчёта, если только знать переносную скорость (вектор течения) и относительную скорость (скорость яхты относительно воды). Отметим, что реально скорости ветра и течения являются функциями времени и координат и представление скоростей и перемещений яхты динамичны и являются лишь моделью с определённой статистической погрешностью.
При вычислении относительной скорости диаграмму ПДСЯ надо ориентировать по направлению действующего ветра.
Рис. ПДСЯ повёрнута по направлению ДВ
Любое движение можно представить как сумму двух ортогональных движений, поэтому представим скорости (курсы) яхт для течений по направлению ветра и перпендикулярно ветру.
Рис. Обозначение векторов
Течение: слабое - сильное.
Рис. Направления ветра и течения параллельны
Течение: слабое - сильное.
Рис. Направление ветра и течения ортогональны
Аналогия с поведением пассажиров при движении по эскалатору заключается в следующем. Рулевой яхты привык выходить на знак в соответствии с курсовым углом, равном нулю, и идти по зелёному вектору, но в действительности яхта перемещается по красному вектору. При приближении к знаку экипаж с удивлением обнаруживает, что яхта наваливает на знак или проскакивает мимо знака. Только очень опытные рулевые быстро оценивают обстановку, наблюдая за непредвиденными оверштагами впереди идущих яхт, и управляют яхтой с учётом красного вектора перемещения.
В штиль влияние даже слабых течений огромно. На изображении ниже показаны течения сложной конфигурации. Если не поднимать паруса, то по воле течений можно попасть в воронку потоков воды и кружиться почти на месте. Но достаточно изменить направления векторов течений на противоположное направление, и получится карта ветров для штилевой погоды, что позволит выбраться из критических ситуаций.
Изображение - карта динамики вод в районе Мавритании
Изображение взято с сайта - Отдела научно-промысловой разведки.
5. Приз за победу
В документе ISAF « Race Management Manual» Part 2 имеется рисунок.
Этот рисунок напомнил мне старт в последней гонке «Золотого Кубка». Я финишировал первым и получил красивый кубок.
Это было во Франции, в 1966 году. Я решил рассказать как это удалось в статье «ВЕТЕР И ТЕЧЕНИЕ» так как течение, ветер и стартовая линия в последней гонке совпадает с рисунком.
В тот день я пришел на дистанцию заблаговременно, подошёл к внешнему стартовому знаку и заметил течение вдоль стартовой линии. Определить вектор течения помог стартовый знак, который неподвижен в АСО, и возможность подойти к знаку на близкое расстояние, так как основная часть участников находилась вдали от стартовой зоны.
Дальнейшие события происходили в согласии с содержанием статьи. Примем отношение длин векторов течения и истинного ветра как 1 к 3 и определим действующий ветер. Полярная диаграмма показывает направление и величину вектора действующего ветра.
Для определения относительных скоростей яхты ПДСЯ повернём в соответствии с направлением действующего ветра и определим вектора гоночного бейдевинда. Примем, как и в первой части статьи, что величина скорости гоночного бейдевинда равна скорости действующего ветра. С помощью полярной диаграммы сложения векторов определим абсолютные скорости (перемещения) яхты. Результаты построений показаны на рисунке.
Из рисунка следует:
1. Равнобедренный треугольник лавировки при присутствии ортогонального к ветру течения преобразуется в косоугольный треугольник.
2. При данном взаимном расположении стартовой линии и первого знака дистанции видно преимущество яхты 1, которое определено местом расположения яхты на стартовой линии.
3. Для яхт, покинувших зону треугольника лавировки, изолинии высот неприменимы и для оценки взаимного расположения яхт надо применить изолинии расстояний до знака. В первом приближении изолинии расстояний до знака можно представить дугами окружностей радиуса R с центром в месте расположения знака.
4. Положение внешнего стартового знака выбирается такое, чтобы обеспечить равенство позиции яхт на стартовой линии: если стартовая линия находится внутри треугольника лавировки, то (move pin down wind) - знак нужно спустить по ветру (стартовая линия параллельна изолинии высоты), если же стартовая линия вышла из треугольника лавировки, то (move pin up wind) - знак нужно поднять по ветру в соответствии с изолинией расстояния до знака.
В то далёкое время мне повезло. Более сотни участников первенства Мира собрались у внешнего знака, так как действующий ветер создавал впечатление «наветренного знака».
Течение могли обнаружить только яхты находящиеся непосредственно в зоне знака.
Я заранее наметил стартовать у судейского судна (внутренний стартовый знак) и только за две минуты до стартового сигнала открыл свой план и пошёл вдоль стартовой линии к судейскому судну. Через минуту ещё один финн повторил мой маневр и на финише был вторым.
На последнем рисунке яхта1 удачно вышла на fetchline левого галса и обеспечила первое место на финише. Яхты, ушедшие со старта правым галсом, на самом деле, удалялись от знака 1.
(Рекомендуется прочесть статью «Ветер и течение» для понимания рисунка.)
Козлов Виктор Александрович,
оформление - Соловейчик Тимофей Артёмович